Les arcs-en-ciel apparaissent si régulièrement après les averses que l’on oublie à quel point ils sont étranges. L’arc primaire a une taille angulaire presque fixe, des couleurs dans un ordre immuable, et une forme qui disparaît dès que l’on tente de s’en approcher. La physique de la formation des arcs-en-ciel explique tout cela, et cette explication s’avère plus élégante que le phénomène lui-même.
Comment fonctionne la physique de la formation des arcs-en-ciel
Chaque arc-en-ciel commence par une seule goutte de pluie. Lorsque la lumière du soleil pénètre dans une gouttelette d’eau, elle ralentit et se courbe, un processus appelé réfraction. La lumière rebondit ensuite à l’intérieur de la goutte et se courbe à nouveau en ressortant[s]. Chaque goutte agit comme un minuscule prisme qui disperse la lumière et la renvoie vers votre œil[s].
Mais toute la lumière ne ressort pas dans la même direction. Les rayons frappant différentes parties de la goutte émergent sous des angles variés. La découverte cruciale, faite par Descartes en 1637, est que les rayons tendent à se concentrer près d’un angle particulier. Près de cette déviation maximale, l’angle change lentement, ce qui crée une « accumulation » de rayons sortants[s]. Cette concentration produit l’arc lumineux que nous voyons.
Pourquoi l’angle de 42 degrés est-il déterminant
La physique de la formation des arcs-en-ciel repose sur la géométrie. Lorsque la lumière pénètre dans une goutte sous un angle d’environ 59,4 degrés par rapport à la normale à la surface, elle ressort avec une déviation minimale qui produit un angle de 42 degrés pour la lumière rouge[s]. Cet angle marque une frontière nette entre une zone sombre et une zone lumineuse, où les rayons se concentrent, correspondant à ce que les physiciens appellent une caustique[s].
La lumière rouge et la lumière bleue se courbent différemment, car l’indice de réfraction de l’eau varie selon la longueur d’onde. La lumière rouge, avec un indice de 1,332, produit un angle de 42,2 degrés. La lumière violette, avec un indice de 1,343, donne un angle de 40,6 degrés[s]. Cet écart de 1,6 degré sépare les couleurs en un spectre familier.
La lumière rouge apparaît en haut et sur le bord extérieur de l’arc-en-ciel, tandis que la lumière bleue se trouve en bas et sur le bord intérieur[s]. Les couleurs apparaissent toujours dans cet ordre, car les longueurs d’onde plus courtes (bleu) se réfractent davantage que les longueurs d’onde plus longues (rouge)[s].
L’arc secondaire et la bande sombre d’Alexandre
Parfois, un arc plus pâle et plus large apparaît au-dessus de l’arc primaire, avec ses couleurs inversées. Cet arc secondaire se forme lorsque la lumière rebondit deux fois à l’intérieur de la goutte au lieu d’une seule[s]. La réflexion supplémentaire inverse l’ordre des couleurs et envoie la lumière sous un angle plus large, d’environ 51 degrés.
Entre les deux arcs-en-ciel, le ciel apparaît nettement plus sombre. Aucune lumière ne se disperse entre 42 et 51 degrés après une ou deux réflexions, créant ce phénomène appelé bande d’Alexandre[s]. À chaque réflexion, l’intensité lumineuse diminue, ce qui rend le second arc moins vif que le premier. Des arcs-en-ciel d’ordre supérieur (trois réflexions ou plus) existent en théorie, mais ils ne sont pas visibles dans des conditions normales, car trop de lumière est perdue[s].
Votre arc-en-ciel vous est propre
L’angle de diffusion des gouttes de pluie varie pour chaque observateur, ce qui signifie que chaque arc-en-ciel est unique[s]. L’arc primaire se situe à la surface d’un cône dont le sommet est l’observateur, l’axe pointe dans la direction antisolaire, et l’ouverture varie selon la couleur : environ 42 degrés pour le rouge et 41 degrés pour le violet[s]. Bougez la tête, et le cône se déplace avec vous, sélectionnant un nouvel ensemble de gouttes.
Comprendre la physique de la formation des arcs-en-ciel s’inscrit dans un schéma plus large de la science : la physique des phénomènes quotidiens révèle souvent une élégance mathématique surprenante. Des effets optiques apparentés, comme les caustiques scintillantes au fond des piscines, sont régis par le même type de géométrie de focalisation des rayons[s].
Variations autour de l’arc
La taille des gouttes influence ce que l’on observe et complique la physique de la formation des arcs-en-ciel. Les grosses gouttes, d’environ 1 millimètre de diamètre ou plus, produisent des arcs-en-ciel plus brillants et plus vifs, avec des bandes de couleurs bien définies et une séparation plus nette entre le rouge et le violet[s]. Dans le brouillard ou une brume très fine, les gouttelettes sont extrêmement petites, et la diffraction l’emporte sur la réfraction, donnant naissance à un arc-en-ciel pâle et presque blanc, appelé arc blanc[s].
Les arcs-en-ciel peuvent durer plus longtemps que ce que l’on imagine généralement. Le 30 novembre 2017, l’université de la Culture chinoise a documenté un arc-en-ciel à Yangmingshan, Taipei, durant 8 heures et 58 minutes ; le Guinness World Records le répertorie comme l’observation d’arc-en-ciel la plus longue jamais enregistrée[s].
Physique de la formation des arcs-en-ciel : optique géométrique
Dans le cadre de l’optique géométrique, l’arc-en-ciel primaire se forme lorsque la lumière du soleil subit deux réfractions et une réflexion à l’intérieur d’une gouttelette d’eau sphérique[s]. Chaque goutte agit comme un minuscule prisme qui disperse la lumière et la renvoie vers l’œil de l’observateur[s].
Soit le paramètre d’impact sans dimension b = d/R, où d est la distance du rayon incident par rapport au centre de la goutte et R le rayon de la goutte. En appliquant la loi de Snell à chaque interface, l’angle de déviation total D(b) varie de manière non monotone avec b. L’arc-en-ciel apparaît à un angle correspondant à l’extrémum de cette fonction, où dD/db = 0. Cet angle correspond à une caustique, une frontière nette où les rayons lumineux se concentrent[s].
Près de la déviation maximale, l’angle change lentement, créant une accumulation de rayons sortants[s]. L’intensité de diffusion I diverge selon |theta – theta_0|^(-1/2), où theta_0 est l’angle de l’arc-en-ciel. Cette singularité en racine carrée inverse est caractéristique des caustiques en optique géométrique[s].
Le rayon de Descartes et la déviation minimale
La physique de la formation des arcs-en-ciel repose sur une configuration géométrique spécifique. La déviation minimale se produit lorsque l’angle d’incidence alpha est d’environ 59,4 degrés, ce qui donne un angle de 42 degrés pour la lumière rouge[s]. Ce rayon critique est appelé rayon de Descartes.
Pour l’arc primaire, la déviation totale D(alpha) = pi + 2*alpha – 4*beta, où beta est l’angle de réfraction à l’intérieur de la goutte. En posant dD/d(alpha) = 0 et en appliquant la loi de Snell (n1*sin(alpha) = n2*sin(beta) avec n2 ≈ 1,33), on obtient la condition d’extrémum.
La dispersion sépare les couleurs. L’indice de réfraction n varie avec la longueur d’onde : n = 1,332 pour la lumière rouge (angle de 42,2 degrés) et n = 1,343 pour la lumière violette (angle de 40,6 degrés)[s]. La lumière rouge apparaît en haut et sur le bord extérieur de l’arc-en-ciel, la lumière bleue en bas et sur le bord intérieur, car les longueurs d’onde plus courtes se réfractent davantage que les longueurs d’onde plus longues[s].
L’arc secondaire et la bande d’Alexandre
L’arc-en-ciel secondaire se forme via deux réflexions internes, avec une déviation D(alpha) = 2*alpha – 6*beta + 2*pi. L’angle de déviation minimale est d’environ 129 degrés, produisant un angle d’observation de 51 degrés[s]. Les rayons lumineux sont réfractés en entrant dans la goutte, puis réfléchis à l’interface air-eau : une fois pour l’arc primaire, deux fois pour l’arc secondaire[s].
La réflexion supplémentaire inverse l’ordre des couleurs et réduit l’intensité. Comme aucune lumière ne se disperse entre 42 et 51 degrés après une ou deux réflexions, le ciel apparaît sombre dans cette plage angulaire, un phénomène appelé bande d’Alexandre[s].
Des arcs-en-ciel d’ordre supérieur, issus de trois, quatre réflexions ou plus, existent en théorie, mais produisent des singularités extrêmement faibles. L’arc de troisième ordre apparaît à environ 40 degrés du soleil, tandis que l’arc de quatrième ordre se trouve quelques degrés plus loin, autour de 45-46 degrés du soleil, tous deux pratiquement invisibles à cause de son éclat. À chaque réflexion, l’intensité diminue, rendant ces arcs d’ordre supérieur inobservables dans des conditions normales[s].
Polarisation à l’angle de Brewster
Près de la singularité caustique, la diffusion dans l’arc primaire est polarisée à 96 % en s-polarisation, et à 90 % dans l’arc secondaire. Cette polarisation résulte du fait que l’angle de réflexion à l’intérieur des gouttes est proche de l’angle de Brewster, où le coefficient de réflexion pour la p-polarisation tend vers zéro[s].
Géométrie de l’observateur
Chaque observateur voit un arc-en-ciel unique, car l’angle de diffusion des gouttes de pluie diffère selon la position de vision[s]. L’arc-en-ciel se situe à la surface d’un cône dont le sommet est l’observateur, l’axe s’étend dans la direction antisolaire, et l’ouverture varie selon la couleur : environ 42 degrés pour le rouge et 41 degrés pour le violet[s]. La physique des phénomènes quotidiens suit souvent des règles géométriques ou angulaires tout aussi compactes, même lorsque le mécanisme diffère.
Limites de l’optique géométrique
La théorie d’Airy étend l’optique géométrique en tenant compte des interférences ondulatoires. Cette approche a ses limites, surtout lorsque la taille des gouttes devient comparable à la longueur d’onde de la lumière incidente[s]. Pour des gouttes beaucoup plus grandes que les longueurs d’onde visibles, l’optique géométrique suffit. Pour des gouttes plus petites, les effets de diffraction dominent.
Les grosses gouttes (diamètre d’environ 1 mm ou plus) produisent des arcs-en-ciel plus brillants et plus vifs, avec des bandes de couleurs bien définies[s]. Dans le brouillard ou une brume très fine, la diffraction l’emporte sur la réfraction, donnant naissance à des arcs blancs : des arcs pâles et presque incolores où la séparation des couleurs échoue[s].
Les arcs surnuméraires, ces fines bandes supplémentaires parfois visibles à l’intérieur de l’arc primaire, résultent d’interférences entre des rayons émergeant sous le même angle mais avec des paramètres d’impact différents. Ces caractéristiques, d’abord expliquées par Thomas Young puis affinées par George Airy, marquent la frontière entre l’optique géométrique et l’optique ondulatoire. La théorie complète de la physique de la formation des arcs-en-ciel nécessite de dépasser l’optique géométrique pour entrer dans la mécanique ondulatoire.
