Wie Regenbögen entstehen: Die Physik von Lichtbrechung und Reflexion

Wie die Physik der Regenbogenentstehung funktioniert

Jeder Regenbogen beginnt mit einem einzigen Regentropfen. Wenn Sonnenlicht in einen Wassertropfen eintritt, verlangsamt es sich und wird gebrochen, ein Vorgang namens Refraktion. Das Licht prallt dann an der Rückseite des Tropfens ab und wird beim Austritt erneut gebrochen.^[s] Jeder Tropfen wirkt wie ein winziges Prisma, das das Licht sowohl aufteilt als auch zum Auge zurückwirft.^[s]

Doch nicht alles Licht tritt in dieselbe Richtung aus. Strahlen, die verschiedene Teile des Tropfens treffen, treten unter verschiedenen Winkeln aus. Die entscheidende Entdeckung, die Descartes im Jahr 1637 machte, lautet: Strahlen neigen dazu, sich nahe einem bestimmten Winkel zu konzentrieren. In der Nähe dieser maximalen Ablenkung ändert sich der Winkel nur langsam, sodass es eine „Anhäufung“ ausgehender Strahlen gibt.^[s] Diese Konzentration erzeugt den leuchtenden Bogen, den wir sehen.

Warum 42 Grad entscheidend sind

Die Physik der Regenbogenentstehung ist letztlich eine Frage der Geometrie. Wenn Licht unter einem Winkel von etwa 59,4 Grad zur Flächennormalen in einen Tropfen eintritt, verlässt es ihn unter einem minimalen Ablenkungswinkel, der für rotes Licht einen Regenbogenwinkel von 42 Grad ergibt.^[s] Dieser Winkel liegt an einer scharfen Grenze zwischen einem dunklen und einem hellen Bereich, wo sich Lichtstrahlen konzentrieren, was Physiker als Kaustik bezeichnen.^[s]

Rotes und blaues Licht werden um leicht unterschiedliche Beträge gebrochen, weil der Brechungsindex von Wasser mit der Wellenlänge variiert. Rotes Licht mit einem Brechungsindex von 1,332 erzeugt einen Regenbogenwinkel von 42,2 Grad. Violettes Licht mit einem Brechungsindex von 1,343 erzeugt einen Winkel von 40,6 Grad.^[s] Diese Spreizung von 1,6 Grad teilt die Farben in das bekannte Spektrum auf.

Rotes Licht erscheint oben und am äußeren Rand eines Regenbogens, während blaues Licht unten und am inneren Rand erscheint.^[s] Die Farben erscheinen stets in dieser Reihenfolge, weil kurzwelliges blaues Licht stärker gebrochen wird als langwelliges rotes Licht.^[s]

Der sekundäre Regenbogen und das dunkle Band

Manchmal erscheint über dem primären Regenbogen ein schwächerer, größerer Bogen mit umgekehrten Farben. Dieser sekundäre Regenbogen entsteht, wenn das Licht im Inneren des Tropfens zweimal statt einmal reflektiert wird.^[s] Die zusätzliche Reflexion kehrt die Farbreihenfolge um und sendet das Licht unter einem weiteren Winkel von etwa 51 Grad aus.

Zwischen den beiden Regenbögen erscheint der Himmel merklich dunkler. Zwischen 42 und 51 Grad wird nach einer oder zwei Reflexionen kein Licht gestreut, wodurch dieses als Alexandersches Band bekannte Phänomen entsteht.^[s] Mit jeder Reflexion nimmt die Lichtintensität ab, sodass der zweite Regenbogen weniger leuchtkräftig als der erste ist. Regenbögen dritter und höherer Ordnung existieren theoretisch, sind jedoch unter normalen Bedingungen nicht sichtbar, weil zu viel Licht verloren geht.^[s]

Ihr Regenbogen gehört allein Ihnen

Der Streuwinkel von Regentropfen ist für jeden anders, was bedeutet, dass jeder Regenbogen einzigartig für den jeweiligen Beobachter ist.^[s] Der primäre Regenbogen liegt auf der Oberfläche eines Kegels, dessen Spitze beim Beobachter liegt, dessen Achse in antisolarer Richtung weist und dessen Öffnungswinkel je nach Farbe variiert: etwa 42 Grad für Rot und etwa 41 Grad für Violett.^[s] Bewegt man den Kopf, bewegt sich der Kegel mit und wählt eine andere Gruppe von Tropfen aus.

Das Verständnis der Physik der Regenbogenentstehung ist Teil eines breiteren Musters in der Wissenschaft: Die Physik alltäglicher Phänomene offenbart oft überraschende mathematische Eleganz. Verwandte optische Effekte, wie die schimmernden Kaustiken auf dem Beckenboden von Schwimmbädern, gehorchen derselben Art von strahlfokussierender Geometrie.^[s]

Variationen des Bogens

Die Tropfengröße beeinflusst, was man sieht, und verkompliziert die Physik der Regenbogenentstehung. Große Tropfen mit einem Durchmesser von etwa 1 Millimeter oder mehr erzeugen hellere und leuchtkräftigere Regenbögen mit scharf abgegrenzten Farbbändern und einer deutlicheren Trennung zwischen Rot und Violett.^[s] In Nebel oder sehr feinem Sprühnebel sind die Regentropfen extrem klein, und Diffraktion dominiert gegenüber Refraktion, was zu einem blassen, nahezu weißen Regenbogen führt, der als Nebelbogen bekannt ist.^[s]

Regenbögen können länger andauern, als die meisten Menschen annehmen. Am 30. November 2017 dokumentierte die Chinese Culture University einen Regenbogen über dem Yangmingshan in Taipeh, der 8 Stunden und 58 Minuten anhielt. Das Guinness-Buch der Rekorde führt ihn als die am längsten andauernde Regenbogenbeobachtung.^[s]

Physik der Regenbogenentstehung: Geometrische Optik

In der Beschreibung durch die geometrische Optik entsteht der primäre Regenbogen, wenn Sonnenlicht in einem kugelförmigen Wassertropfen zwei Brechungen und eine Reflexion durchläuft.^[s] Jeder Tropfen wirkt wie ein winziges Prisma, das das Licht sowohl aufteilt als auch zum Auge des Beobachters zurückwirft.^[s]

Der dimensionslose Stoßparameter sei b = d/R, wobei d der Abstand des einfallenden Strahls vom Tropfenmittelpunkt und R der Tropfenradius ist. Unter Anwendung des Snellschen Gesetzes an jeder Grenzfläche variiert der Gesamtablenkungswinkel D(b) nicht-monoton mit b. Der Regenbogen erscheint bei einem Winkel, der dem Extremum dieser Funktion entspricht, wo dD/db = 0 gilt. Dieser Winkel entspricht einer Kaustik, einer scharfen Grenze, an der sich Lichtstrahlen konzentrieren.^[s]

In der Nähe der maximalen Ablenkung ändert sich der Winkel nur langsam, was eine Anhäufung ausgehender Strahlen erzeugt.^[s] Die Streuintensität I divergiert als |theta – theta_0|^(-1/2), wobei theta_0 der Regenbogenwinkel ist. Diese inverse Quadratwurzelsingularität ist charakteristisch für Kaustiken der Strahlenoptik.^[s]

Der Descartes-Strahl und die minimale Ablenkung

Die Physik der Regenbogenentstehung dreht sich um eine bestimmte geometrische Konfiguration. Die minimale Ablenkung tritt auf, wenn der Einfallswinkel Alpha etwa 59,4 Grad beträgt, was für rotes Licht zu einem Regenbogenwinkel von 42 Grad führt.^[s] Dieser kritische Strahl wird als Descartes-Strahl bezeichnet.

Für den primären Bogen gilt die Gesamtablenkung D(alpha) = pi + 2*alpha – 4*beta, wobei beta der Brechungswinkel im Inneren des Tropfens ist. Das Setzen von dD/d(alpha) = 0 und die Anwendung des Snellschen Gesetzes (n1*sin(alpha) = n2*sin(beta) mit n2 ≈ 1,33) liefert die Extremumbedingung.

Dispersion trennt die Farben. Der Brechungsindex n variiert mit der Wellenlänge: n = 1,332 für rotes Licht (Regenbogenwinkel 42,2 Grad) und n = 1,343 für violettes Licht (Regenbogenwinkel 40,6 Grad).^[s] Rotes Licht erscheint oben und am äußeren Rand des Regenbogens, blaues Licht unten und am inneren Rand, weil kürzere Wellenlängen stärker gebrochen werden als längere.^[s]

Sekundärer Bogen und das Alexandersche Band

Der sekundäre Regenbogen entsteht durch zwei innere Reflexionen, mit der Ablenkung D(alpha) = 2*alpha – 6*beta + 2*pi. Der minimale Ablenkungswinkel beträgt etwa 129 Grad, was zu einem beobachteten Regenbogenwinkel von 51 Grad führt.^[s] Lichtstrahlen werden beim Eintritt in den Tropfen gebrochen und dann im Inneren des Tropfens an der Luft-Wasser-Grenzfläche reflektiert: einmal beim primären Regenbogen, zweimal beim sekundären Bogen.^[s]

Die zusätzliche Reflexion kehrt die Farbreihenfolge um und reduziert die Intensität. Da zwischen 42 und 51 Grad bei einer oder zwei Reflexionen kein Licht gestreut wird, erscheint der Himmel in diesem Winkelbereich dunkel, ein als Alexandersches Band bezeichnetes Phänomen.^[s]

Regenbögen höherer Ordnung durch drei, vier oder mehr Reflexionen existieren theoretisch, erzeugen jedoch extrem schwache Singularitäten. Der Bogen dritter Ordnung erscheint bei etwa 40 Grad von der Sonne, während der Bogen vierter Ordnung einige Grad weiter außen bei etwa 45 bis 46 Grad von der Sonne liegt, beide praktisch unsichtbar im Sonnenglanz. Mit jeder Reflexion nimmt die Intensität ab, sodass diese Bögen höherer Ordnung unter normalen Bedingungen nicht beobachtbar sind.^[s]

Polarisation am Brewster-Winkel

Nahe der Kaustiksingularität ist die Streuung im primären Bogen zu 96 % s-polarisiert und im sekundären zu 90 %. Diese Polarisation ergibt sich daraus, dass der Winkel, unter dem das Licht im Inneren der Tropfen reflektiert wird, dem Brewster-Winkel nahekommt, bei dem der Reflexionskoeffizient für p-polarisiertes Licht gegen null geht.^[s]

Beobachtergeometrie

Jeder Beobachter sieht einen einzigartigen Regenbogen, weil der Streuwinkel von Regentropfen je nach Beobachtungsposition unterschiedlich ist.^[s] Der Regenbogen liegt auf der Oberfläche eines Kegels, dessen Spitze beim Beobachter liegt, dessen Achse in antisolarer Richtung verläuft und dessen Öffnungswinkel je nach Farbe variiert: etwa 42 Grad für Rot und etwa 41 Grad für Violett.^[s] Die Physik alltäglicher Phänomene folgt oft ähnlich kompakten geometrischen oder winkelbasierten Regeln, selbst wenn der Mechanismus verschieden ist.

Grenzen der geometrischen Optik

Airys Theorie erweitert die Strahlenoptik, indem sie Welleninterferenz berücksichtigt. Dieser Ansatz hat seine Grenzen, insbesondere wenn die Größe der Regentropfen mit der Wellenlänge des einfallenden Lichts vergleichbar wird.^[s] Für Tropfen, die wesentlich größer als sichtbare Wellenlängen sind, genügt die geometrische Optik. Für kleinere Tropfen dominieren Beugungseffekte.

Große Tropfen (Durchmesser etwa 1 mm oder mehr) erzeugen hellere und leuchtkräftigere Regenbögen mit scharf abgegrenzten Farbbändern.^[s] In Nebel oder sehr feinem Sprühnebel dominiert Diffraktion gegenüber Refraktion und erzeugt Nebelbögen: blasse, nahezu weiße Bögen, bei denen die Farbtrennung ausbleibt.^[s]

Interferenzbögen, die schwachen zusätzlichen Bänder, die manchmal innerhalb des primären Bogens sichtbar sind, entstehen durch Welleninterferenz zwischen Strahlen, die unter demselben Winkel aus verschiedenen Stoßparametern austreten. Diese Phänomene, erstmals von Thomas Young erklärt und später von George Airy verfeinert, markieren die Grenze zwischen Strahlenoptik und Wellenoptik. Die vollständige Theorie der Physik der Regenbogenentstehung erfordert den Übergang von der geometrischen Optik zur Wellenmechanik.